投票选举中的数学悖论

　　投票选举中的数学悖论_经济学_高等教育_教育专区。 “ 少数服从多数”是我们经常说的一句话， 小到 一群人去哪里吃饭、学校班干部选举， 大到国家政策 的决定、某些国家的议员选举， 通常都是遵照这条规 则行事。然而， 如果从数学的角度分析这种“ 多数决

　　“ 少数服从多数”是我们经常说的一句话， 小到 一群人去哪里吃饭、学校班干部选举， 大到国家政策 的决定、某些国家的议员选举， 通常都是遵照这条规 则行事。然而， 如果从数学的角度分析这种“ 多数决 定” 的规则， 我们就会发现， 按照这种规则做出的 决定也有可能不是“最佳” 决定，甚至可能是“ 最差” 决定。 举个例子。办公室7 个人， 打电话到外面定快餐， 只能共同选择一种食品。可选择的食品有3种： 蛋 炒饭、盖浇饭和面条。7 个人想吃的食品排名顺序 各不相同。比如说， A 先生想吃的是“ 蛋炒饭 盖浇饭 面条”。F 先生想吃的相反， 是“ 面条 盖浇饭 蛋炒饭”。 1表示最想吃的，2其次，3最不喜欢 A 先生负责汇总意见， 根据多数人最想食品 订餐。收集到的意见是， 最想吃蛋炒饭3人， 最 想吃盖浇饭或者面条的各有2 人。于是按照“ 多 数决定” 订了蛋炒饭。 但是A先生深入听取了他们的意见后发现：原来， 最想吃盖浇饭或面条的那4个人最不喜欢吃的就是 盖浇饭！ 现在 换一种思路：假定可选择 的食品只有两种，每个人只能二选一。 在只有“ 蛋炒饭和盖浇饭” 可 供选择时， 分析7个人的意见， 结 果是3 对4 ， 盖浇饭获胜； 在只有“ 盖浇饭和面条” 可供 选择时，盖浇饭获胜； 在只有“ 面条和蛋炒饭”可供 选择时，面条获胜。 这样分析起来，想吃盖浇饭的人 最多，最后要定的应是盖浇饭。 另外，还会出现相对立的结论——如果问七个人最不想吃 的午餐是什么，结果恰好是蛋炒饭（占4票）。 因此，投票中即使每个人都做出了他认为是最合理的选择， 投票结果也有可能是不合理的，这种现象被称为是“投票悖 谬”。早在18世纪，法国的数学家和政治家孔多赛（1747-1794） 就揭示了投票所具有的这种奇怪的性质。并且将一对一比较得 到的由多数人选择的那个选项（盖浇饭）叫做“孔多赛胜者”。 另外，还会出现这样的一种“投票悖谬”： 假定有三个人ABC，他们对三种食物的喜欢顺序分别是 A:蛋炒饭盖浇饭面条 B:盖浇饭面条蛋炒饭 C:面条蛋炒饭盖浇饭 这种情况下投票特别分散，无法决出最后胜负（孔多赛胜 者）。在这种情况下，每个投票者都做出自己的合理判断，但 结果却是不合理的（无法做出决定）。 假定有一个百人社会，分成左中右三派，各派出一个 候选人。三派选民的分布如下： ：４０， 同时亲中反右 中派：２５， 同时亲右反左 ：３５， 同时亲中反左 如果采用简单多数制，则胜。于是中派 大呼上当，我们可是有６０％的选民最讨厌！民 主制度下怎么能让多数人都最反对的人当选呢？ ：４０， 同时亲中反右 中派：２５， 同时亲右反左 ：３５， 同时亲中反左 两轮选举制是指在选举出唯一的候选人时，如果 某选举中没有任何一个人获得绝大多数的选票，那么 选票最多的两个候选人进入下一轮选举，被选举人不 得投票。 由于中间派只有２５％，第一轮被淘汰。但是由 于中派亲右，于是在第二轮以 ６０：４０ 击败左 派当选。 ：４０， 同时亲中反右 中派：２５， 同时亲右反左 ：３５， 同时亲中反左 这个结果够不够民主呢？这种选举制好不好呢？ 怎么说也只代表了３５％ 的选民。 而且，左 派实际上可以操纵选举结果。对于来说， 当选是下下之策。由于胜算渺茫，其最佳策略是在 第一轮忍痛割爱，把票投给中派，造成中派当选的 最终结局。而在第二轮中与中派竞争。这种鼓励做 票的选举制度显然太黑暗了。 波达计数法是按照喜好排列候选者，进行打分。 （４０人）： 给老左３分，老中２分，老右１分 中派（２５人）： 给老左１分，老中３分，老右２分 （３５人）： 给老左１分，老中２分，老右３分 总计： 老左：４０x３＋２５x１＋３５x１＝１８０分 老中：４０x２＋２５x３＋３５x２＝２２５分 老右：４０x１＋２５x２＋３５x３＝１９５分 于是老中当选。可是，老中是三派中的最少数派。 在 民主制度下怎么能让最少数派的代理人当选呢？ Arrow’s theorem,又叫做不可能定理，是 由肯尼思·阿罗（Kenneth J ·Arrow） 【1972年诺贝尔经济学奖获得者】提出的 一种社会选择理论。阿罗定理的含义是： 满足所有合理条件的社会选择机制是不存 在的。阿罗的最终结论是：只要搞民主选 举，不论用什么选举法，在数学上都无法 避免选民（即多数人）不满意的候选人当 选。或者，从数学上避免困境的“选举” 方式只有一个：独裁，即非民主选举。因 此，不存在完美的选举制。 个体的偏好排序满足下列要求： 1、完全性（completivity）：对任意一对备选方案 x 、y ，一个人喜欢 x 胜于 y 、喜欢 y 胜于 x 和对两者 同样喜欢这三种情况必有其一。 2、反身性（reflexivity）：任意一个备选方案至少和 它自身一样好。或者说，从同样的偏好标准出发，一 个人不能既喜欢又不喜欢同一个备选方案。 3、传递性（transivity）：如果一个人喜欢 x 胜于 y ，喜欢 y 胜于 z ，那么他应该喜欢 x 胜于 z ；而且只 有当他喜欢 x 和 y 的程度相同，喜欢 y 和 z 的程度相 同时，他才能同样程度地喜欢 x 和 z 。 显而易见，对 于一个正常人来说，这三个要求相当合情合理，绝无 过分之处。 阿罗由此推出五个合理要求条件，可视为五个公理。 而在超过三名候选人的情况下，满足前四个公理的 选举规则竟然违反第五个公理（本来选举的目的就 是让大家作主，结果却整出来个一言九鼎的“独裁 者”），因此不存在能同时满足这五个条件的选举 规则！这个结论被称为“阿罗不可能定理”，其确 切表述如下： 当至少有三名候选人和两位选民时 ，不存在满足阿罗公理的选举规则。